الرياضيات المتناهية الأمثلة

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

خطوة 1

أعِد كتابة $7^{- x}$ في صورة أُس.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

خطوة 2

عوّض بقيمة $7^{x}$ التي تساوي $u$ .

$u + u^{- 1} = 50$

خطوة 3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

خطوة 4

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, u, 1$

خطوة 4.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$u$

خطوة 4.2

اضرب كل حد في $u + \frac{1}{u} = 50$ في $u$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب كل حد في $u + \frac{1}{u} = 50$ في $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اضرب $u$ في $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

خطوة 4.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

خطوة 4.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{2} + 1 = 50 u$

خطوة 4.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $50 u$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

خطوة 4.3.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 50$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

ارفع $- 50$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.1.3

اطرح $4$ من $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.1.4

أعِد كتابة $2496$ بالصيغة $8^{2} \cdot 39$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.4.1

أخرِج العامل $64$ من $2496$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.1.4.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

خطوة 4.3.4.3

بسّط $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

خطوة 4.3.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

خطوة 5

عوّض بـ $25 + 4 \sqrt{39}$ عن $u$ في $u = 7^{x}$ .

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

خطوة 6

أوجِد حل $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

خطوة 6.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

خطوة 6.3

وسّع $\ln (7^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

خطوة 6.4

اقسِم كل حد في $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ على $\ln (7)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اقسِم كل حد في $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ على $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 6.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 7

عوّض بـ $25 - 4 \sqrt{39}$ عن $u$ في $u = 7^{x}$ .

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

خطوة 8

أوجِد حل $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

خطوة 8.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

خطوة 8.3

وسّع $\ln (7^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

خطوة 8.4

اقسِم كل حد في $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ على $\ln (7)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اقسِم كل حد في $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ على $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 8.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 9

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

الصيغة العشرية:

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$